Modelo M/M/1/N

El modelo M/M/1/N es un tipo de sistema de colas similar al M/M/1, pero en este caso la capacidad de clientes que pueden estar en el sistema es limitada a un máximo de N (incluyendo los que esperan y el que está siendo atendido). En este modelo:

  • Los clientes llegan siguiendo una distribución Poisson con una tasa promedio de arribos λ (clientes por segundo).
  • El tiempo de servicio sigue una distribución exponencial con una tasa promedio μ (clientes atendidos por segundo).
  • Hay una sola cola y un solo servidor que atiende de a un cliente a la vez.
  • Si al llegar un cliente el sistema ya tiene N clientes, ese cliente es rechazado y no entra al sistema.
  • Las salidas son independientes de las entradas.
  • Las probabilidades no son las mismas que en M/M/1, ya que aquí existe un máximo de N clientes posibles y no hay infinitos estados posibles.
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Fórmulas

  • \( \rho = \frac{\lambda}{\mu} \)
  • \( P_0 = \frac{1-\rho}{1-\rho^{N+1}} \)
  • \( P_n = \rho^n \cdot (1-\rho) / (1-\rho^{N+1}) \)
  • \( P_B = \rho^N \cdot \frac{1-\rho}{1-\rho^{N+1}} = P_{N+1} \)
  • \( \tau = \lambda \cdot P_B \)
  • \( \bar{\lambda} = \lambda \cdot (1 - P_B) \)
  • \( L_s = \frac{\rho}{1-\rho} - \frac{(N+1)\rho^{N+1}}{1-\rho^{N+1}} \) si \( \rho \neq 1 \), \( L_s = N/2 \) si \( \rho = 1 \)
  • \( L_Q = L_s - (1-\rho^N)\rho/(1-\rho^{N+1}) \) si \( \rho \neq 1 \), \( L_Q = \frac{N(N-1)}{2(N+1)} \) si \( \rho = 1 \)
  • \( W_s = \frac{L_s}{\bar{\lambda}} \)
  • \( W_Q = \frac{L_Q}{\bar{\lambda}} \)
  • \( \bar{\rho} = \frac{\bar{\lambda}}{\mu} \)
  • \( L_b = \frac{L_Q}{1-P_0} \)
  • \( w_b = \frac{w_Q}{1-P_0} \)

Donde:
• ρ es la intensidad de tráfico (utilización del sistema).
• P₀ es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema.
• \(P_n\) es la probabilidad de que haya n clientes en el sistema.
• \(P_B\) es la probabilidad de que haya N clientes en el sistema.
• τ es la tasa de rechazos.
• λ̄ es la tasa de llegada efectiva.
• \(L_s\) es el número promedio de clientes en el sistema.
• \(L_q\) es el número promedio de clientes en la cola.
• \(W_s\) es el tiempo promedio en el sistema.
• \(W_q\) es el tiempo promedio en la cola.
• ρ̄ es la utilización efectiva del sistema.
• \(L_b\) es el número promedio de clientes en cola para un sistema ocupado.
• \(W_b\) es el tiempo promedio de clientes en cola para un sistema ocupado.